Question

9．在△ABC中，AB=BC，D是CB延长线上一点，E是BC延长线上一点，且AD=AC，过点D作射线DM，使∠ADM=∠ACD，在射线DM上有一点F，∠AFD=∠AEB．
（1）求证：∠ABD=2∠ADF；
（2）图1中是否存在与AE相等的线段？若存在，请找出并加以证明．
（3）若将“AD=AC“改为“AC=m，AD=n“，其他条件不变，如图2，若EC=1，∠ADM=α，求DF的长度？（用含有α，m，n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性质得出∠ACD=∠BAC，再用三角形的外角的性质得出∠ABD=2∠ACD，即可得出结论；
（2）先判断出∠ADC=∠ADF进而得出△AED≌△AFD即可得出结论；
（3）先构造出直角三角形得出AB，在构造出△ADN∽△BAC即可得出AN=n，DN=2n•cosα，再判断出，△ANF∽△ACE，即可得出NF，最后用线段的和即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵AB=BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC=2∠ACD，
∵∠ADM=∠ACD，
∴∠ABD=2∠ADF，
（2）存在，AF=AE
证明：∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACD=∠ADF，
∴∠ADC=∠ADF，
在△AED和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AFD}\\{∠ADC=∠ADF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AFD，
∴AF=AE，
（3）如图2，过点B作BG⊥AC，
∵AB=BC，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，
∵∠ADM=∠ACD，∠ADM=α，
∴∠ACD=α，
在Rt△BCG中，cosα=$\frac{CG}{BC}$，
∴BC=$\frac{CG}{cosα}=\frac{m}{2cosα}$，
∴AB=$\frac{m}{2cosα}$，
在DF上取一点N使AN=AD，
∴AN=AD=n，∠AND=∠ADM=α=∠BAC=∠ACB，
∴△ADN∽△BAC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DN}{AC}$，
∴$\frac{n}{\frac{m}{2cosα}}=\frac{DN}{m}$，
∴DN=2n•cosα，
∵∠AND=∠ACB，
∴∠ANF=∠ACE，
∵∠AFD=∠AEC，
∴△ANF∽△ACE，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{NF}{CE}$，
∵CE=1，
∴$\frac{n}{m}=\frac{NF}{1}$，
∴NF=$\frac{n}{m}$，
∴DF=DN+NF=2n•cosα+$\frac{n}{m}$=$\frac{（2m•cosα+1）n}{m}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，解本题的关键是构造出直角三角形和相似三角形，也是解本题的难点．