Question

19．双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）与直线y=x+6相交于A、B两点．
（1）当k=-5时，求AB的长；
（2）双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的同一支上有三点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、K（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀）．比较y₀与$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$的大小．

Answer 1

分析 （1）解方程组得到A（-1，5），B（-5，1），根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2）根据反比例函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵k=-5，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{-5}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{x}}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴A（-1，5），B（-5，1），
∴AB=$\sqrt{（-1+5）^{2}+（5-1）^{2}}$=4$\sqrt{2}$；

（2）当双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的三点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、K（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀）在第二象限时，
∵y₀＞0，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜0，
∴y₀＞$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
当双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的三点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、K（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀）在第四象限时，
∵y₀＜0，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞0，
∴y₀＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两点间的距离公式，反比例函数的性质，正确的求得交点坐标是解题的关键．