Question

14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是（3，4）或（2$\sqrt{5}$，4）或（6-2$\sqrt{5}$，4）．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90°，分三种情况：①当PO=PA时；②当AP=AO=6时；③当OP=OA=6时；分别求出PC的长，即可得出结果．

解答 解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=6，AB=OC=4，∠B=∠OCB=90°，
分三种情况：如图所示：
①当PO=PA时，P在OA的垂直平分线上，P是BC的中点，PC=3，
∴点P的坐标为（3，4）；
②当AP=AO=6时，BP=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PC=6-2$\sqrt{5}$，
∴P（6-2$\sqrt{5}$，4）；
③当OP=OA=6时，PC=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴P（2$\sqrt{5}$，4）．
综上所述：点P的坐标为（3，4）或（2$\sqrt{5}$，4）或（6-2$\sqrt{5}$，4）．
故答案为：（3，4）或（2$\sqrt{5}$，4）或（6-2$\sqrt{5}$，4）．

点评 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键．