Question

12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3
（1）求OE长．      
（2）判断四边形ADOC的形状．

Answer 1

分析 （1）连接OC，设OA=OB=OC=2x，求出AE=x，BE=2x，OE=2x-x=x，根据垂径定理求出CE=DE=3，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．

解答 解：（1）连接OC，
设OA=OB=OC=2x，
∵AE：BE=1：3，
∴AE=x，BE=2x，OE=2x-x=x，
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=3，∠CEO=90°
在Rt△CEO中，由勾股定理得：OE²+CE²=OC²，
x²+3²=（2x）²，
x=$\sqrt{3}$（负数舍去），
∴0E=$\sqrt{3}$；

（2）四边形ADOC的形状是菱形，
理由是：
∵CE=DE，AE=OE=x=$\sqrt{3}$，
∴四边形ADOC是平行四边形，
∵OC=OD，
∴四边形ADOC是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂径定理，勾股定理的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．