Question

20．等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点G是BC上一点，CF⊥AG于E，BF⊥CF，D为AB中点，连接DF．
（1）求证：△AEC≌△CFB；
（2）求证：EF=$\sqrt{2}$DF．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠BCF=∠CAE=90°-∠ACE，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）连接CD，DE，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠FBD=∠DCE，由全等三角形的性质得到AE=CF，CE=BF，推出△BFD≌△CDE，由全等三角形的性质得到DF=DE，∠FDB=∠EDC，证得△DEF是等腰直角三角形，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵CF⊥AG，BC⊥CF，
∴∠BCF=∠CAE=90°-∠ACE
在△AEC≌△CFB，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCF=∠CAE}\\{∠CEA=∠CFB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CFB；

（2）连接CD，DE，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴CD=BD，∠CDB=90°，
∵∠CDB=∠CFB=90°，
∴∠FBD=∠DCE，
∵△AEC≌△CFB，
∴AE=CF，CE=BF，
在△BFD与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠FBD=∠ECD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△CDE，
∴DF=DE，∠FDB=∠EDC，
∴∠EDC+∠EDB+∠BDF+∠BDE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．