Question

17．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为边AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在四边形对角线BD上的点G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）点E可以是AD的中点吗？请说明理由；
（2）求证：△ABG∽△BFE；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c．当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，在Rt△EGD中，GE＜ED，因此AE＜ED，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠AEB=∠EBF，再由折叠的性质得出∠EBF=∠BEF，证出FE=FB，△FEB为等腰三角形，证出∠ABG=∠EFB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAG=∠FBE，即可得出结论；
（3）过点D作DH⊥BC，由平行四边形的性质得出∠C=∠EFB，由相似三角形的性质得出∠EFB=∠GBA，因此∠C=∠GBA，证明△ABD∽△HCD，得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 （1）解：点E不可以是AD的中点；理由如下：
根据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴Rt△EGD中，GE＜ED，
∴AE＜ED，
因此点E不可以是AD的中点．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF
∵△ABE沿直线BE折叠，
∴△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠EFB+∠GBF=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，
∠BAG=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABG），∠FBE=$\frac{1}{2}$（180°-∠EFB），
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE．
（3）解：a²+b²=ac．理由如下：
过点D作DH⊥BC，如图所示：
∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
∴∠C=∠EFB，
∵△ABG∽△BFE，
∴∠EFB=∠GBA，
∴∠C=∠GBA，
∵∠DAB=∠DHC=90°，
∴△ABD∽△HCD，
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{AB}{HC}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b}{c-a}$，
∴a²+b²=ac．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．