Question

如图，A、B两点在∠O的两边上，满足OA=OB，用直尺和圆规作出∠O的平分线与OB的垂直平分线，两线相交于点P（不写作法，保留作图痕迹）．试问：点P是否在OA的垂直平分线？猜想PA、PB之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：利用线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质进而得出Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），即可得出答案．

解答：解：如图所示：点P在OA的垂直平分线上，
理由：过点P作PD⊥OA于点D，
∵∠AOP=∠BOP，
∴PE=PD，
在Rt△ODP和Rt△OEP中
∵

OP=OP PD=PE

，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴OE=OD，
∵AO=OB，EO=BE，
∴DO=AD，
∴点P在OA的垂直平分线上．
PA=PB，
理由：∵点P在OA的垂直平分线上，点P在OB的垂直平分线上，
∴OP=PA，OP=PB，
∴PA=PB．

点评：此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直垂直平分线的性质等知识，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．