Question

2．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，C′B交AD于点E．剪去不重叠的部分．
（1）图中不重叠的两个部分（△ABE与△C′DE）是否全等？说明理由．
（2）将重叠部分展开，得到的四边形是什么四边形？为什么？
（3）若DC′与BA延长线的交点为P，且C′恰为DP的中点，AB=$\sqrt{3}$，如图2，求（2）中所得四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质，可得DC′=DC，∠C′=∠C；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABE≌△C′DE即可．
（2）首先根据△ABE≌△C′DE，可得BE=DE，所以展开所得的四边形的四条边相等，然后根据菱形的特征，判断出将重叠部分展开，得到的四边形是菱形即可．
（3）首先判断出∠ABC′=30°，AE=$\frac{1}{2}$BE，然后设AE=x，则BE=2x，分别求出△AED、△ABE、△ABD的面积，即可求出（2）中所得的菱形的面积是多少．

解答 解：（1）△ABE≌C′DE，
∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
由折叠可知，DC′=DC，∠C′=∠C，
∴∠A=∠C′，AB=C′D，
又∵∠AEB=∠C′ED，
在△ABE与△C′DE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=C′D}\\{∠A=∠C′}\\{∠AEB=∠C′ED}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△C′DE，
即图中不重叠的两个部分△ABE与△C′DE全等．

（2）将重叠部分展开，得到的四边形是菱形，
由（1），可得△ABE≌△C′DE，
∴BE=DE，
∴展开所得的四边形的四条边相等，
∴将重叠部分展开，得到的四边形是菱形．

（3）在△BDC′和△BPC′中，
∵DC′=PC′，∠DC′B=∠PC′B=90°，BC′=BC′，
∴∠ABC′=∠DBC′=∠DBC，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABC′=30°，
∴$AE=\frac{1}{2}BE$，
设AE=x，则BE=2x，
∴x²${+（\sqrt{3}）}^{2}$=（2x）²，
解得x=1，
∴AE=1，BE=2，AD=3，
∴${S}_{△AED}=\frac{1}{2}AB．AD=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AB•AE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△BDE}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴（2）中所得的菱形的面积是2$\sqrt{3}$．

点评 （1）此题主要考查了翻转变换，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法．
（2）此题还考查了菱形的特征和判断，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．