Question

3．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于D，已知CD=AD．
（1）求证：AB=CB；
（2）设过D点⊙O的切线交BC于H，DH=$\frac{3}{2}$，tanA=3，求⊙O的直径AB．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质即可得出AB=BC；
（2）连结OD．根据切线的性质得出OD⊥DH，根据相似三角形的判定与性质得出△CHD∽△CDB，$\frac{CH}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，进而求出即可．

解答 （1）证明：连结BD．
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴AD⊥BD，
又∵CD=AD，
∴AB=BC．
（2）解：连结OD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC．
∵过点D的直线DH与⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥BC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=$\frac{3}{2}$，tanC=tanA=3，
∴CH=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
则$\frac{CH}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，
将DH=$\frac{3}{2}$，CH=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$代入得：CB=5，
即AB=5．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质和垂直平分线的性质等知识，熟练利用切线的性质定理得出是解题关键．