Question

6．已知：一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．$\frac{BC}{BD}$=$\frac{5}{2}$，△ABC的面积=10．

Answer 1

分析 过点B作BM⊥y轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，连接AD，如图，由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{5}$可知，要求△ABC的面积，只需求△ABD的面积，只需求出点A、B、D、F的坐标．易得$\frac{BM}{CN}$=$\frac{2}{3}$，可设BM=2x，就用含有x和k的代数式表示点A、B的坐标，然后代入直线y=-2x+10就可解决问题．

解答 解：过点B作BM⊥y轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，连接AD，如图，
则有BM∥CN，
∴△BMD∽△CND，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{BD}{CD}$．
∵$\frac{BC}{BD}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{2}{3}$．
设BM=2x，则CN=3x，
∴点B（2x，$\frac{k}{2x}$），点C（-3x，-$\frac{k}{3x}$）．
根据对称性可得点A（3x，$\frac{k}{3x}$）．
∵点A、B在直线y=-2x+10上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{3x}=-2×3x+10}\\{\frac{k}{2x}=-2×2x+10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{k=12}\end{array}\right.$，
∴点A（3，4），点B（2，6），点C（-3，-4）．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=6}\\{-3m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=2x+2．
∵点D是直线BC与y轴的交点，
∴点D（0，2）．
∵点F是直线AB与y轴的交点，
∴点F（0，10），
∴S_△ABD=S_△ADF-S_△BDF
=$\frac{1}{2}$×（10-2）×3-$\frac{1}{2}$×（10-2）×2=4．
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{5}{2}$S_△ABD=$\frac{5}{2}$×4=10．
故答案为10．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点、运用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，用含有x和k的代数式表示点A、B的坐标，代入直线y=-2x+10求出A、B的坐标，是解决本题的关键．