Question

20．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O．
（1）∠BOC=120°；
（2）将△ABC沿BD所在直线折叠，若点E落在BC上的M处，试证明：CM=CD．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和得：∠ACB+∠ABC=120°，由角平分线定义得：∠OBC+∠OCB=60°，最后由三角形内角和可得结论；
（2）证明△DCO≌△MCO可得结论．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=180°-60°=120°，
∵∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°，
故答案为：120；
（2）连接OM，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，
由翻叠的性质可得：△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在△DCO与△MCO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠MCO}\\{OC=OC}\\{∠MOC=∠DOC}\end{array}\right.$，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD．

点评 本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形全等的性质和判定、翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是关键．