Question

11．如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，点P，Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 连接AC交BD于O，连接PC，作CQ′⊥AD于Q′交BD于P′．根据S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•BD•AC=AD•CQ′，可以求出CQ′，由BD垂直平分AC，推出PA=PC，推出PA+PQ=PC+PQ，推出当P与P′重合，Q与Q′重合时，PA+PQ的值最小．

解答 解：连接AC交BD于O，连接PC，作CQ′⊥AD于Q′交BD于P′．

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OB=OD=4，
∵AB=5，
∴OA=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AC=6，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•BD•AC=AD•CQ′，
∴CQ′=$\frac{24}{5}$，
∵BD垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA+PQ=PC+PQ，
∴当P与P′重合，Q与Q′重合时，PA+PQ的值最小，最小值为CQ′=$\frac{24}{5}$．
故答案为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查菱形的性质、轴对称最短问题、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．