Question

18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD，交AB于点E，点F为AC上一点，且CF=BE，BF与CE交于点P，下列结论：
①AC=AE；②CD=BE；③DP⊥BF；④2∠BDP=135°．
其中正确的是（　　）

• A． ①③④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①正确．只要证明∠ACE=∠AEC=67.5°即可．
②正确．只要证明△ADC≌△ADE，推出CD=DE，再证明DE=BE即可．
③正确．只要证明DB=DF，BP=PF即可．
④正确．只要证明△BCF≌△ACD，推出∠CBF=22.5°=∠DFB，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接DE，设AD与CE交于点H．作BN∥CA交CE的延长线于N．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD=22.5°，
∵∠AHC=∠AHE=90°，
∴∠ACH=∠AEH=67.5°，
∴AC=AE，故①正确，
∵AC=AE，AH⊥CE，
∴CH=HE，
∴DE=DC，
在△ADC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△ADE，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠EBD=∠EDB=45°，
∴BE=DE，
∴CD=BE，故②正确，
∵BD=$\sqrt{2}$BE，DF=$\sqrt{2}$DC，
∴BD=DF，
∵BN∥CF，
∴∠BNE=∠NCF-67.5°，
∴∠BEN=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BNE=∠BEN，
∴BE=BN=CF，
∴四边形BCFN是平行四边形，
∴BP=PF，∵DB=DF，
∴DP⊥BF，故③正确．
在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAD=22.5°，
∴∠DFB=∠DBF=22.5°，
∴2∠BDP=∠BDF=180°-22.5°-22.5°=135°，故④正确．
∴①②③④正确，
故选D．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．