(1)感知:如图①.以△ABC的边AB和BC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形BCE.其中∠ABD=∠CBE=90°.连接AE.DC．求证:△ABE≌△DBC．的条件下.若AE=8.求四边形ACED的面积．(3)拓展:如图②.在锐角∠BAC内有点P.以点P为直角顶点分别作等腰直角三角形DEP和等腰直角三角形FGP.点D.E.F.G分别在边AB和AC上.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．（1）感知：如图①，以△ABC的边AB和BC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形BCE，其中∠ABD=∠CBE=90°，连接AE、DC．求证：△ABE≌△DBC．
（2）应用：在（1）的条件下，若AE=8，求四边形ACED的面积．
（3）拓展：如图②，在锐角∠BAC内有点P，以点P为直角顶点分别作等腰直角三角形DEP和等腰直角三角形FGP，点D、E、F、G分别在边AB和AC上，连结EF、DG．若FG∥EP，且DE=4，PG=2，求四边形DEFG的面积．

分析（1）利用两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）首先证明AE=CD，AE⊥CD，根据S_{四边形ADEC}=$\frac{1}{2}$•CD•AG+$\frac{1}{2}$•CD•EG=$\frac{1}{2}$•CD•AE即可解决问题．
（3）如图②中，延长DP交AG于M，连接DF、EG，利用（2）的方法，求出DF即可解决问题．

解答解：（1）∵BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC．

（2）设CD与AE交于点G，AB与CD交于点O．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，AE=DC=8，
∵∠BDC+∠DOB=90°，
∵∠DOB=∠AOG，
∴∠BAE+∠AOG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥CD，
∴S_{四边形ADEC}=$\frac{1}{2}$•CD•AG+$\frac{1}{2}$•CD•EG=$\frac{1}{2}$•CD•AE=$\frac{1}{2}$×8×8=32．

（3）如图②中，延长DP交AG于M，连接DF、EG．
（1）可知△DPF≌△EPG，DF=EG，DF⊥EG，
∵PE∥AG，
∴∠DEP=∠A=45°，
∵∠ADM=45°，
∴∠A=∠ADM=45°，
∴∠AMD=90°，
∵PF=PG，
∴MF=MG，
∵DE=4，PG=2，
∴DP=2$\sqrt{2}$，PM=FM=MG=$\sqrt{2}$，
∴$DM=3\sqrt{2}$，
∴DF=$\sqrt{D{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_{四边形DEFG}=$\frac{1}{2}$•DF•EG=10．

点评本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、四边形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住对角线垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．

	A．	两个全等的三角形一定关于某条直线对称
	B．	关于某条直线对称的两图形的对应点的连线被这条直线垂直平分
	C．	直角三角形都是轴对称图形
	D．	锐角三角形都不是轴对称图形

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