题目内容
13．已知，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，以O为顶点作∠MON=90°，且OM，ON分别与射线AB，BC交于点E，F．（1）如图1，当OM⊥AB时，线段OE的长为4，OF的长为3；
（2）如图2，将∠MON从图1的位置开始绕点O逆时针旋转，点E，F仍然在边AB，BC上，求$\frac{OE}{OF}$的值；
（3）如图3，将图2中的∠MON沿OA方向平移，当顶点落在线段OA的中点P时，再继续绕点P逆时针旋转∠MPN，此时点E，F分别在AB，BC边的延长线上，直接写出此时$\frac{PE}{PF}$的值．
分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AO=CO，BO=DO，推出四边形OEBF是矩形，根据矩形的性质得到OE∥BC，OF∥AB，于是得到结论；
（2）过O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，推出△OPE∽△OQF，根据相似三角形的性质得到$\frac{OE}{OF}=\frac{OP}{OQ}=\frac{4}{3}$；
（3）如图3，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥BC于点H，则PG⊥PH，PG∥BC，PH∥AB．推出△APG∽△PCH，根据相似三角形的性质得到$\frac{PG}{CH}$=$\frac{AP}{PC}$，得CH=3PG，$\frac{PG}{PH}$=$\frac{4}{9}$，推出△PGE∽△PHF，于是得到结论．
解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=CO，BO=DO，
∵∠MON=90°，OM⊥AB，
∴∠OEB=∠ABC=∠EOF=90°，
∴四边形OEBF是矩形，
∴OE∥BC，OF∥AB，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=4，OF=$\frac{1}{2}$AB=3，
故答案为：4，3；
（2）过O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，
∴∠OPE=∠OQF=90°，
∵∠ABC=∠EOF=90°，
∴∠OEB+∠OFB=180°，
∴∠OEP=∠OFB，
∴△OPE∽△OQF，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{OP}{OQ}=\frac{4}{3}$；
（3）如图3，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥BC于点H，则PG⊥PH，PG∥BC，PH∥AB．
∵PG∥BC，PH∥AB，
∴∠APG=∠PCH，∠PAG=∠CPH，
∴△APG∽△PCH，
∵顶点落在线段OA的中点P时，AP：PC=1：3，
∴$\frac{PG}{CH}$=$\frac{AP}{PC}$，得CH=3PG，
∵PH∥AB，
∴△PCH∽△CAB，
∴$\frac{PH}{CH}$=$\frac{PH}{3PG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PG}{PH}$=$\frac{4}{9}$，
∵PG⊥PH，PE⊥PF，
∴∠EPG=∠FPH，
又∵∠PGE=∠PHF=90°，
∴△PGE∽△PHF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PG}{PH}$=$\frac{4}{9}$．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形解决问题．
名校课堂系列答案| A． | 若a＞b，则a+c＞b+c | B． | 若a+c＞b+c，则a＞b | C． | 若a＞b，则ac2＞bc2 | D． | 若a＞b，则1+a＞b-1 |
| A． | 调查白银市市民的吸烟情况 | |
| B． | 调查白银市电视台某节目的收视率 | |
| C． | 调查白银市市民家庭日常生活支出情况 | |
| D． | 调查白银市某校八年级二班学生对“文明白银”的知晓率 |
如图所示，数轴上与1，$\sqrt{2}$对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，求BC的长．| A． | 第一、三象限 | B． | 第二、四象限 | C． | 第一、二象限 | D． | 第三、四象限 |
观察图，先填空，然后回答问题．
根据以上信息，整理分析数据如下：
| 平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
| 甲 | 7 | 7 | 7 | 1.2 |
| 乙 | 7 | 7.5 | 8 | 4.2 |
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
| A． | 频率等于频数与组距比值 | |
| B． | 在频数分布直方图中，频数之和为数据个数 | |
| C． | 在频数分布表中，频率之和为1 | |
| D． | 频率等于频数与样本容量的比值 |