Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G．
（1）求$\frac{AF}{AC}$的值；
（2）求$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等角的余角相等得到∠DBE=∠BCD，由于AB=CB，点D是AB的中点，得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB，求出tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$在Rt△ABG中，tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，推出△AFG∽△CFB，即可得到结论；
（2）由（1）证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCF}}$=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，由于$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，得到$\frac{CF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，于是得到$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{4}×\frac{2}{3}{S}_{△ABC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{6}$．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC⊥AB，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{3}$；

（2）由（1）证得△AFG∽△CFB，
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCF}}$=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△BCF=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{4}×\frac{2}{3}{S}_{△ABC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{6}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．