题目内容
13．（1）问题解决如图（1），AD是等边三角形△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，交边AB于点M，交射线AC于点N，试证明：△AMN∽△DMA；
（2）问题变式
如图（2），AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC（x，y≠0）．求证：x+y=2xy；
（3）问题拓展
如图（3），AD是△ABC的中线，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），试探究x′、y′之间的数量关系？并说明理由．
分析 （1）由△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，可得∠MAD=30°，∠ACD=60°，BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，可得∠CDN=30°，DCN=120°，可得∠ANM=30°，由∠AMD=∠NMA，即可得出△AMN∽△DMA．
（2）作CF∥AB交MN于点F，可得△CFN∽△AMN，易证△CFD≌△BMD，可得BM=CF．由$\frac{AN-AC}{AN}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{AB-AM}{AM}$，可得出$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，即x+y=2xy；
（3）过点D作M′N′的平行线，交直线AB于点M，交直线AC于点N，由三角形相似得$\frac{AM′}{AM}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AN′}{AN}$，设AM=xAB，AN=yAC，可得$\frac{x′}{x}$=n=$\frac{y′}{y}$，即x=$\frac{x′}{n}$，y=$\frac{y′}{n}$，结合（2）知x+y=2xy；即可得nx′+ny′=2x′y′．
解答 证明：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，AD是等边三角形△ABC的中线，
∴∠MAD=30°，∠ACD=60°，
∵将BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，
∴∠CDN=30°，DCN=120°，
∴∠ANM=30°，
∵∠AMD=∠NMA，
∴△AMN∽△DMA；
（2）如图2，作CF∥AB交MN于点F，
∴△CFN∽△AMN，
∴$\frac{NC}{NA}$=$\frac{CF}{AM}$，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵CF∥AB，
∴∠DBM=∠DCF，∠DMB=∠DFC，
在△CFD和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMB=∠DFC}\\{∠DBM=∠DCF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△BMD，
∴BM=CF．
∴$\frac{AN-AC}{AN}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{AB-AM}{AM}$，
∴$\frac{yAC-AC}{yAC}$=$\frac{AB-xAB}{xAB}$，即$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，
∴x+y=2xy；
（3）x′、y′之间的数量关系为：nx′+ny′=2x′y′．
理由如下：
如图3，过点D作M′N′的平行线，交直线AB于点M，交直线AC于点N，
则$\frac{AM′}{AM}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AN′}{AN}$，设AM=xAB，AN=yAC，
∴$\frac{x′}{x}$=n=$\frac{y′}{y}$，
即x=$\frac{x′}{n}$，y=$\frac{y′}{n}$，
由（2）知x+y=2xy；
∴$\frac{1}{x′}$+$\frac{1}{y′}$=$\frac{2}{n}$．即nx′+ny′=2x′y′．
点评 本题主要考查了相似形综合题．涉及相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用三角形相似．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G．
| A． | 5a | B． | 4a | C． | 3a | D． | 2a |
如图所示，某工程队要在一社区点C处修建一条小路CE，使小路CE与AB方向一致．| A． | 方差是衡量一组数据波动大小的统计量 | |
| B． | 影响鞋店进货时决策的主要统计量是众数 | |
| C． | 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 | |
| D． | 对角线互相平分的四边形是平行四边形 |