Question

7．如图，抛物线y=x²-3x+2与坐标轴交于A、B、C三点，点P为抛物线上一点，PM⊥BC于M，且$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 要求点P的坐标，只要设出点P的坐标，根据点P在抛物线上，由抛物线y=x²-3x+2与坐标轴交于A、B、C三点，点P为抛物线上一点，PM⊥BC于M，且$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，可以得到点P的横纵坐标之间的关系，从而可以求得点P的坐标．

解答 解：将y=0代入y=x²-3x+2得x=1或x=2，将x=0代入y=x²-3x+2得，y=2，
∵抛物线y=x²-3x+2与坐标轴交于A、B、C三点，
∴点A（1，0），点B（2，0），点C（0，2），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=90°，
作PN⊥y轴于点N交BC于点D，如右图所示，
∴△CND和△PMD是等腰直角三角形，
设PM=a，则MD=a，CM=2a，
∴CD=a，
∴ND=CD•sin45°=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，PD=$\frac{a}{sin45°}=\sqrt{2}a$，
∴点P的坐标为（$\frac{\sqrt{2}a}{2}+\sqrt{2}a$，2-$\frac{\sqrt{2}a}{2}$），
即点P的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}a}{2}，2-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
∵点P在抛物线上，
∴$（\frac{3\sqrt{2}a}{2}）^{2}-3×\frac{3\sqrt{2}a}{2}+2=2-\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
解得，a=$\frac{8\sqrt{2}}{9}$或a=0（舍去），
∴点P的坐标为（$\frac{8}{3}，\frac{10}{9}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．