Question

16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以2cm/s的速度沿线段DC向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）求CD的长．
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长．
（3）当点P在折线BCD上运动时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为16cm²？若存在，请求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．
（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．

解答 解：（1）如图1，过点A作AM⊥CD于M，
根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，
∴DM=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，
点P在AB上，点Q在DC上，如图2，
由题知：BP=10-3t，DQ=2t
∴10-3t=2t，解得t=2
此时，BP=DQ=4，CQ=12
∴BQ=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$
∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=8+8$\sqrt{13}$；


（3）①当点P在线段BC上时，即$\frac{10}{3}$＜t≤6时，如图3，
BP=3t-10，CQ=16-2t
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（3t-10）×（16-2t）=16，
解得：t=6，或t=$\frac{16}{3}$；

②如图4，当点P在线段CD上时，
若点P在Q的右侧，即6≤t≤$\frac{34}{5}$，
则有PQ=34-5t，S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（34-5t）×8=16，
解得：t=6，
若点P在Q的左侧，
即$\frac{34}{5}$＜t≤8，
则有PQ=5t-34，S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（5t-34）×8=16，
解得t=7.6，
综合得，满足条件的t存在，其值分别为t=6，或t=$\frac{16}{3}$，或t=7.6．

点评 此题主要考查了四边形综合应用以及勾股定理和平行四边形的性质以及直角梯形的性质等知识，熟练利用平行四边形性质得出BP=DQ是解题关键．