Question

如图，在△ABC中，中线CD⊥AC，CD=AC，点E在AB上，且AE=

1

2

EB，EF∥DC，交AC于点F．
（1）△EDF与△DCB相似吗？为什么？（提示：设AE=a）
（2）判断∠CDF与∠B是否相等，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：常规题型

分析：（1）设AE=a，则BE=2a，则AB=3a，可计算出AD=BD=

3

2

a，DE=AD-AE=

1

2

a，由CD⊥AC，CD=AC得到△ACD为等腰直角三角形，所以CD=

2

2

AD=

3 2

4

a；根据EF∥CD得到∠DEF=∠BDC，△AEF∽△ADC，再利用相似的性质得

EF

CD

=

AE

AD

，可表示出EF=

2

2

a，由于

EF

BD

=

DE

CD

=

2

3

，且∠DEF=∠CDB，于是根据三角形相似的判定即可得到△DEF∽△CDB；
（2）先由△DEF∽△CDB得到∠DFE=∠B，再利用EF∥CD得到∠DFE=∠CDF，所以∠CDF=∠B．

解答：解：（1）△EDF与△DCB相似．理由如下：
设AE=a，则BE=2a，
∴AB=3a，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=

3

2

a，
∴DE=AD-AE=

1

2

a，
∵CD⊥AC，CD=AC，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=

2

2

AD=

3 2

4

a，
∵EF∥CD，
∴∠DEF=∠BDC，
∴△AEF∽△ADC，
∴

EF

CD

=

AE

AD

，即

EF

3 2 4 a

=

a

3 2 a

，解得EF=

2

2

a，
∵

EF

BD

=

2 2 a

3 2 a

=

2

3

，

DE

CD

=

1 2 a

3 2 4 a

=

2

3

，
∴

EF

BD

=

DE

CD

，
而∠DEF=∠CDB，
∴△DEF∽△CDB；
（2）∠CDF与∠B相等．理由如下：
∵△DEF∽△CDB，
∴∠DFE=∠B，
∵EF∥CD，
∴∠DFE=∠CDF，
∴∠CDF=∠B．

点评：本题考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似的性质和平行线的性质．