Question

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB=CE•ED；
（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，$\frac{CE}{DE}$=$\frac{9}{5}$，求tan∠OBC的值及DP的长．

Answer 1

分析 （1）直接根据题意得出△AED∽△CEB，进而利用切线的性质的出答案；
（2）利用已知得出EC，DE的长，再利用勾股定理得出CF的长，t即可得出an∠OBC的值，再利用全等三角形的判定与性质得出DP的长．

解答 （1）证明：连接AD，
∵∠A=∠BCD，∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{ED}{EB}$，
∴AE•EB=CE•ED；

（2）解：∵⊙O的半径为3，
∴OA=OB=OC=3，
∵OE=2BE，
∴OE=2，BE=1，AE=5，
∵$\frac{CE}{DE}$=$\frac{9}{5}$，
∴设CE=9x，DE=5x，
∵AE•EB=CE•ED，
∴5×1=9x•5x，
解得：x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=-$\frac{1}{3}$（不合题意舍去）
∴CE=9x=3，DE=5x=$\frac{5}{3}$，
过点C作CF⊥AB于F，
∵OC=CE=3，
∴OF=EF=$\frac{1}{2}$OE=1，
∴BF=2，
在Rt△OCF中，
∵∠CFO=90°，
∴CF²+OF²=OC²，
∴CF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△CFB中，
∵∠CFB=90°，
∴tan∠OBC=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∵CF⊥AB于F，
∴∠CFB=90°，
∵BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，
在△CFE和△PBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFB=∠PBE}\\{EF=EF}\\{∠FEC=∠BEP}\end{array}\right.$，
∴△CFE≌△PBE（ASA），
∴EP=CE=3，
∴DP=EP-ED=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出EP的长是解题关键．