Question

5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为3，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（2）由相似三角形相似比为1：2，得到S△MND：S△CND=1：4，可得到△MND面积为1，△MCD面积为3，由S_{平行四边形ABCD}=AD•h，S_△MCD=MD•h=AD•h，=4S△MCD，即可求得答案．

解答 解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴$\frac{MD}{BC}$=$\frac{DN}{BN}$，
∵M为AD中点，所以BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，
∴S△MND：S△CND=1：2，
∵△DCN的面积为3，
∴△MND面积为1.5，
∴△MCD面积为4.5，
设平行四边形AD边上的高为h，
∵S_{平行四边形ABCD}=AD•h，S_△MCD=MD•h=AD•h，
∴S_{平行四边形ABCD}=4S_△MCD=18．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积和平行四边形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．