Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A、B，点A的坐标为（2，3），点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）如果点C、D分别在x轴、y轴上，四边形ABCD是平行四边形，求直线CD的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据点A（2，3）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，得到3=$\frac{k}{2}$，k=6，求出反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$，求出点B的坐标为（6，1），把点A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b即可得到结果；
（2）根据两点间的距离公式得到AB的长=$\sqrt{（6-2）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由于以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到AB∥CD，AB=CD=2$\sqrt{5}$，直线CD的解析式可设为y=-$\frac{1}{2}$x+n，求得D点坐标为（0，n），C点坐标为（2n，0），根据勾股定理列方程得到n=2或-2，即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A（2，3）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴3=$\frac{k}{2}$，k=6．∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$
把x=6代入上式得：y=1，
即点B的坐标为（6，1），
∵点A（2，3），B（6，1）在y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=2k+b}\\{1=6k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；

（2）∵一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
AB的长=$\sqrt{（6-2）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=2$\sqrt{5}$，
直线CD的解析式可设为y=-$\frac{1}{2}$x+n，
则D点坐标为（0，n），C点坐标为（2n，0），
在Rt△ODC中，OD²+OC²=DC²，
∴n²+（2n）²=20，解得n=2或-2，
∴直线CD的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+2或y=-$\frac{1}{2}$x-2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，点在反比例函数图象上，则点的坐标满足图象的解析式；运用待定系数法求函数的解析式；掌握平行四边形的性质和两直线平行线的解析式的关系以及勾股定理．