Question

7．已知二次函数y=k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）写出点C的坐标；
（2）若△ABC为等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；
（2）先通过解方程k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）=0得点A、B坐标，讨论：若k＞0，当CA=CB，则OA=OB；当AB=AC；当BA=BC时；若k＜0时，AB=AC，利用两点间的距离公式分别得到关于k的方程，然后解方程求出对应的k的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）=k•（-$\frac{3}{k}$）=-3，
所以C点坐标为（0，-3）；
（2）当y=0时，k（x+1）（x-$\frac{3}{k}$）=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{3}{k}$，
设A（-1，0），B（$\frac{3}{k}$，0），
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$
若k＞0，
当CA=CB，则OA=OB，即$\frac{3}{k}$=1，解得k=3；
当AB=AC，解$\frac{3}{k}$+1=$\sqrt{10}$，解得k=$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$；
当BA=BC时，即$\frac{3}{k}$+1=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{k}）^{2}}$，解得k=$\frac{3}{4}$；
若k＜0时，AB=AC，即-1-$\frac{3}{k}$=$\sqrt{10}$，解得k=-$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
综上所述，k的值为3或$\frac{3}{4}$或-$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$或$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了分类讨论的思想和等腰三角形的性质．