Question

17．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．
（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；
（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；
（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=$\frac{4}{3}$，求tan∠ABH的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义和垂直平分线的判定好小子即可求解；
（2）如图2，连结BD，先证明四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质和垂直平分线的性质即可求解；
（3）如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N，在Rt△ABF中和在Rt△BNH中，根据三角函数的定义即可求解．

解答 （1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠BEM=∠BFA=90°，
∴∠EBM+∠BME=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠BME=∠BAC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分线，
∴AD=AM；
（2）证明：如图2，连结BD，
∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠BEM=∠BFA=90°，
∵∠EBM=∠FBA，
∴∠BME=∠BAF，
∴四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BDM=∠BAC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分线，
∴AD=AM；
（3）解：如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N．
易知∠AHN=∠ABF=∠C，
在Rt△ANH中，设HN=3m，
∵tan∠AHN=tan∠C=$\frac{AN}{NH}$=$\frac{4}{3}$，
∴AN=4m，
∴AH=5m，
∵BH平分∠ABF，
∴HN=HF=3m，
∴AF=AH+HF=8m，
在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=tan∠C=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{4}{3}$，
∴BF=6m，
∴AB=10m，
∴BN=AB-AN=6m，
∴在Rt△BNH中，tan∠NBH=$\frac{NH}{BN}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ABH=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合，涉及了圆内接四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及垂直平分线的性质，三角函数，解答本题的关键是掌握数形结合思想运用．