Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点D从B出发向A运动，作
DE⊥AB交射线BC于点E，以DE为直径作圆，另一个动点G以相同速度从A出发向B运动，作GH⊥AB交射线AC于点H，当GH与⊙F相切时，求出DE的值．

Answer 1

分析 作FQ⊥QG于Q，如图，根据切线的性质得FQ=$\frac{1}{2}$DE，再证明四边形FQGD为正方形得到DG=FG=$\frac{1}{2}$DE，再利用勾股定理计算出AB=10，接着证明Rt△BDE∽Rt△BCA，利用相似比可得BD=$\frac{4}{3}$DE，然后利用BD=AG得到$\frac{4}{3}$DE+$\frac{1}{2}$DE+$\frac{4}{3}$DE=10，然后就解方程即可．

解答 解：作FQ⊥QG于Q，如图，
∵GH与⊙F相切，
∴FQ=$\frac{1}{2}$DE，
∵DE⊥AB，HG⊥AB，
∴四边形FQGD为正方形，
∴DG=FG=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠EBD=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴DE：AC=BD：BC，即DE：6=BD：8，
∴BD=$\frac{4}{3}$DE，
∵BD=AG，
∴$\frac{4}{3}$DE+$\frac{1}{2}$DE+$\frac{4}{3}$DE=10，
∴DE=$\frac{60}{19}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．