Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-

3

4

x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如△BDC的面积为△ABC面积的两倍，求此时D的坐标；
（3）试写出当BD=CD时，BD的解析式，并求出此时△ABD与△BCD的面积的比值．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：（1）根据两直线解析式，令y=0，求解即可得到B、C点的坐标，两解析式联立求解即可得到点A的坐标；
（2）根据三角形是同底的三角形，如△BDC的面积为△ABC面积的两倍，则△BDC的高为△ABC高的两倍，求D的纵坐标，代入直线y=-

3

4

x+3即可求得横坐标，进而求得D的坐标．
（3）设D（m，-

3

4

m+3），根据BD=CD列出关于m的方程，解方程求得m的值，进而求得D的坐标，然后根据

S△ABD

S△BCD

=

S△ABC-S△BDC

S△BCD

即可求得△ABD与△BCD的面积的比值．

解答：解：（1）

y=x+1 y=- 3 4 x+3

，
解得

x= 8 7 y= 15 7

．
所以A（

8

7

，

15

7

），
令y=0，则x+1=0，解得x=-1，
则-

3

4

x+3=0，解得x=4，
所以B（-1，0），C（4，0）．

（2）∵△BDC的面积为△ABC面积的两倍，
∴△BDC的高为△ABC高的两倍，
即D的纵坐标=±2×

15

7

=±

30

7

，
代入y=-

3

4

x+3得，±

30

7

=-

3

4

x+3，
解得x=-

12

7

或x=

68

7

，
∴D（-

12

7

，

30

7

），或（

68

7

，-

30

7

）．

（3）设D（m，-

3

4

m+3），
∵B（-1，0），C（4，0）．
∴BD²=（m+1）²+（-

3

4

m+3）²，CD²=（m-4）²+（-

3

4

m+3）²，
∵BD=CD，
∴（m+1）²+（-

3

4

m+3）²=（m-4）²+（-

3

4

m+3）²，解得m=

3

2

，
∴D（

3

2

，

15

8

）．
∴

S△ABD

S△BCD

=

S△ABC-S△BDC

S△BCD

=

1 2 ×5× 15 7 - 1 2 ×5× 15 8

1 2 ×5× 15 8

=

1

7

．
所以此时△ABD与△BCD的面积的比值为

1

7

．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，以及相交线的问题，利用两解析式联立求解交点坐标是常用的方法，需要熟练掌握并灵活运用．