Question

15．如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t=1.5或2.7或3时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为$\sqrt{5}$？

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；
（3）当P、Q两点之间的距离为$\sqrt{5}$时，分三种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧，分别求得t的值并检验即可．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC²+BC²=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）如图，当点P在AC上时，CP=CB=3，则t=3÷2=1.5秒；

如图，当点P在AB上时，分两种情况：

若BP=BC=3，则AP=2，
故t=（4+2）÷2=3秒；                   
若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，则
$\frac{1}{2}$×AB×MC=$\frac{1}{2}$×BC×AC，
$\frac{1}{2}$×5×MC=$\frac{1}{2}$×3×4，
解得CM=2.4，
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，
∴AP=1.4，
故t=（4+1.4）÷2=2.7秒． 
综上所述，当t=1.5、3或2.7 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
故答案为：t=1.5或2.7或3；

（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤2），
由勾股定理可得：（2t）²+t²=5，
解得t=1；

②如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（3≤t＜4），
由题可得：12-2t-t=$\sqrt{5}$，
解得t=$\frac{12-\sqrt{5}}{3}$；

③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（4＜t≤4.5），
由题可得：2t+t-12=$\sqrt{5}$，
解得t=$\frac{12+\sqrt{5}}{3}$，
∵t=$\frac{12+\sqrt{5}}{3}$＞4.5，
∴不成立，舍去．
综上所述，当t为1秒或$\frac{12-\sqrt{5}}{3}$秒时，P、Q两点之间的距离为$\sqrt{5}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及等腰三角形的判定与性质的运用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．