Question

7．已知：在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高，点P是AC边上任意一点（不与点A、点C重合）过点P作PE⊥BC，垂足为E，交CD于点F．若AD=CD，探究线段PF、CE之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据AA可证△PCE∽△CBD∽△CFE，根据相似三角形的性质可得$\frac{PE-EF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，进一步得到$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，设CD=x，则AD=x，AB=AC=$\sqrt{2}$x，BD=AB-AD=（$\sqrt{2}$-1）a，再代入计算即可求解．

解答 解：∵CD是AB边上的高，PE⊥BC，
∴∠BDC=∠PEC=90°，
∴∠DCB=90°-∠B，∠CPE=90°-∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DCB=∠CPE，
∴△PCE∽△CBD∽△CFE，
∴$\frac{PE}{CD}$=$\frac{CE}{BD}$，$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$，
即$\frac{PE}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$①，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{BD}{CD}$②，
①-②$\frac{PE-EF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
∵PE-EF=PF，
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
设CD=x，则AD=x，AB=AC=$\sqrt{2}$x，
∴BD=AB-AD=（$\sqrt{2}$-1）a，
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{a}{（\sqrt{2}-2）a}$-$\frac{（\sqrt{2}-1）a}{a}$=2，
∴PF=2CE．

点评 此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明△PCE∽△CBD∽△CFE．