Question

20．1883年，德国数学家格奥尔格•康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，他的做法如下：
取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段再分别三等分，各去掉中间一段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩四条线段，分别三等分，分别去掉中间一段，余下八条线段，达到第3阶段；…；这样的操作一直继续下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，把这种分形，称做康托尔点集．下图是康托尔点集的最初几个阶段，当达到第5个阶段时，余下的线段的长度之和为（$\frac{2}{3}$）⁵；当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 根据题意可知：当第一阶段时，余下线段之和为$\frac{2}{3}$，当第二阶段时，余下线段之和为：$\frac{4}{9}$=（$\frac{2}{3}$）²，当第三阶段时，余下线段之和为：$\frac{8}{27}$=（$\frac{2}{3}$）³，

解答 解：根据分析可知：当达到第5阶段时，余下的线段之和为$（\frac{2}{3}）^{5}$，
当达到n的阶段时，余下线段之和为（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
故答案为：（$\frac{2}{3}$）⁵；（$\frac{2}{3}$）ⁿ

点评 本题考查数字规律，注意找出前面几种情况，然后总结其中的规律