Question

11．如图，∠CBF是△ABC的一个外角，点O是BC上的任意一点（不与B、C重合），过点O作直线l∥AB，且直线l与∠ABC的平分线相交于D，与∠CBF的平分线相交于E，
（1）OD与OE是否相等？为什么？
（2）若BD=2，BE=5，求OB的长；
（3）当O在何处时，四边形BDCE为矩形？并说明理由？

Answer 1

分析 （1）要说明OD、OE相等，需找到一个中间量（OB），把它们连接起来．已知BD、BE分别是角平分线，l与AB平行，可根据角平分线、平行线的性质，说明∠BDE=∠CBD，∠BED=∠CBE，利用等角对等边解决．
（2）由于BD、BE分别是∠ABC、∠CBF的角平分线，而∠ABC和∠CBF是邻补角，易证明∠DBE是直角，利用勾股定理求出DE，通过直角三角形斜边中线与斜边关系，求出BO．
（3）由（2）知∠DBE是直角，若四边形BDCE为矩形，尚缺四边形BDCE为平行四边形的条件．由（1）知O是对角线DE的中点，若O是BC的中点时，四边形BDCE为平行四边形．

解答 解：（1）相等．
理由：∵BE、BD分别是角平分线，
∴∠CBE=∠FBE，∠CBD=∠ABD，
∵l∥AB，
∴∠ABD=∠BDE=∠CBD，∠BED=∠FBE=∠CBE，
∴DO=OB，OB=OE，
∴DO=EO．

（2）∵BE、BD分别是角平分线，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠FBC，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=$\frac{1}{2}$（∠FBC+∠ABC）=$\frac{1}{2}×$180°=90°．
在RT△DBE中，∵BD=2，BE=5，
∴DE=$\sqrt{D{B}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}=\sqrt{29}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
（3）当点O在BC中点时，四边形BDCE为矩形．
理由：由（1）知，OD=OE，当CO=BO时，四边形BDCE为平行四边形，
由（2）知，∠DBE=90°，所以四边形BDCE为矩形．
即当O为BC的中点时，四边形BDCE为矩形．

点评 本题是一道四边形只是的综合题，考察了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边的中线与斜边的关系、勾股定理以及平行四边形、矩形的判定．利用“邻补角的角平分线所构成的角是直角”“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”是解决本题的关键．