Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{3}{2}$x与双曲线y=$\frac{6}{x}$相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，且点C的横坐标是6，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．则△PBC的面积是24．

Answer 1

分析 联立直线和双曲线解析式可求得A、B坐标，再求得C点坐标，再利用待定系数法可分别求得直线AC和直线BC的解析式，可求得P点坐标及直线BC与y轴的交点坐标，再利用三角形的面积可求得答案．

解答 解：如图，设直线BC交y轴于点Q，
联立直线和双曲线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A（2，3），B（-2，-3），
由C点横坐标为6，代入双曲线解析式可得y=$\frac{6}{6}$=1，
∴C（6，1），
设直线AC解析式为y=kx+b，把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴P（0，4），
设直线BC解析式为y=mx+n，把B、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=-3}\\{6m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴Q（0，-2），
∴PQ=4-（-2）=6，
∴S_△PBC=S_△PQB+S_△PQC=$\frac{1}{2}$×6×[6-（-2）]=24，
故答案为：24．

点评 本题主要考查直线与双曲线的交点问题，求得直线BC、直线AC与y轴的交点坐标是解题的关键．