Question

20．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM=AD+MC；
（2）若AD=4，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
（2）设MC=x，则BM=4-x，由勾股定理与（1）的结论得出AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$=4+x，解得x即可得出结果．

解答 （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴AM=MN，
在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠MAE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD=NC，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=4，∠B=90°，
设MC=x，则BM=4-x，
AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，
∵AM=AD+MC=4+x，
∴$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$=4+x，
解得：x=1，
∴AM=5．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定、矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．