Question

11．已知AD是△ABC的角平分线，求证：AB•AC=AD²+BD•CD．

Answer 1

分析 作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出AD•ED=BD•DC，即可得出答案．

解答 证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AB•AC=AD•AE=AD（AD+DE）=AD²+AD•ED，
∵∠B=∠E，∠BAD=∠DCE，
∴△BAD∽△ECD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{ED}$，
∴AD•ED=BD•DC，
∴AB•AC=AD•AE=AD²+BD•DC．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．