Question

1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，过点B作DB⊥BC于点B，交过点A直线DE交于点D，且∠ADB=135°，AE=2AD，连接CE，若sin∠ABC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，DB=1时，则CE=$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 作辅助线构建等腰直角三角形和直角三角形，分别得出△BDF和△AFM是等腰直角三角形，得BF=DB=1，AM=FM，根据sin∠ABC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$设未知数，表示BM和AM的长，列方程得出各线段的长，并证出AG是△EFC的中位线，由此得出结论．

解答 解：过A作AM⊥BC，垂足为M，延长AD、CB交于F，取FC的中点G，连接AG，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=180°-135°=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=DB=1，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{2}$，
在Rt△AFM中，∵∠F=45°，
∴AM=FM，
设AM=2$\sqrt{5}$x，AB=5x，则BM=$\sqrt{5}$x，
由AM=FM得：$\sqrt{5}$x+1=2$\sqrt{5}$x，
x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=MC=$\sqrt{5}$x=1，AM=2，
∵AM⊥BC，DB⊥BC，
∴DB∥AM，
∵FB=BM，
∴FD=AD，
∵AE=2AD，
∴AE=AF，
∴AG是△EFC的中位线，
∴EC=2AG，
∵MG=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴EC=$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查了三角形中位线性质的运用，同时也考查了解直角三角形，如果题中已知某一角的三角函数值，而这个值不是特殊角，要根据这个数值的比的关系设未知数，表示出相关线段的长，但要注意利用这一数值表示边长时，必须在直角三角形中．