Question

19．已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC=∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD=AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC=2∠C，即可求出∠C．

解答 解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，
∴∠DAO=90°，
∴∠DAB+∠BAO=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠DAB，
（Ⅱ）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C，
∵AD=AC，
∴∠D=∠C，
∴∠OAC=∠D，
∵∠OAC=∠DAB，
∴∠DAB=∠D，
∵∠ABC=∠D+∠DAB，
∴∠ABC=2∠D，
∵∠D=∠C，
∴∠ABC=2∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴2∠C+∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴∠E=∠C=30°

点评 此题是切线的性质题，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出∠ABC=2∠D．