Question

18．如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．已知AB=8，∠AOB+∠COD=180°，则弦CD的弦心距等于（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 作OF⊥DC于F，作直径DE，连接CE，先由∠AOB+∠COD=180°，及∠COE+∠COD=180°，利用等角的补角相等得到：∠AOB=∠COE，进而由在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等得到：$\widehat{AB}=\widehat{CE}$，然后由等弧所对的弦相等可得：CE=AB=8，然后由OF⊥DC，根据垂径定理得DF=CF，然后由OD=OE，可得OF为△DCE的中位线，然后根据三角形中位线性质得到：OF=$\frac{1}{2}$CE=4，即得到弦CD的弦心距．

解答 解：作OF⊥DC于F，作直径DE，连接CE，如图，

∵∠AOB+∠COD=180°，
而∠COE+∠COD=180°，
∴∠AOB=∠COE，
∴$\widehat{AB}=\widehat{CE}$，
∴CE=AB=8，
∵OF⊥CD，
∴DF=CF，
而OD=OE，
∴OF为△DCE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$CE=4．
故选：D．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．