Question

1．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x（x-k）经过原点O，交x轴正半轴于A，过A的直线交抛物线于另一点B，AB交y轴正半轴于C，且OC=OA，B点的纵坐标为9
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限的抛物线上一点，连接PB、PC，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接OP、AP，若∠APO=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作BH⊥x轴于H．由题意OC=OA=K，∠AOC=90°，推出∠OAC=∠OCA=45°，由∠BHA=90°，推出∠HBA=∠HAB=45°，推出BH=AH=9，推出OH=9-k，推出B（k-9，9），把B（k-9，9）代入y=$\frac{1}{4}$x（x-k），解方程即可．
（2）如图2中，作BH⊥x轴于H，连接OP、PH、PA．设P[m，$\frac{1}{4}$m（m-5）]．根据S_△PBC=S_△PAB-S_△PCA=（S_△PBH+S_△PHA-S_△ABH）-（S_△PCO+S_△POA-S_△AOC）计算即可．
（3）如图3中设AC交OP于D，AC的中点为K，连接PK．只要证明∠CPA=90°，根据PK=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，利用两点间距离公式，列出方程，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．

由题意OC=OA=K，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠BHA=90°，
∴∠HBA=∠HAB=45°，
∴BH=AH=9，
∴OH=9-k，
∴B（k-9，9），
把B（k-9，9）代入y=$\frac{1}{4}$x（x-k），
得到9=$\frac{1}{4}$（k-9）×（-9），
∴k=5，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x（x-5）．

（2）如图2中，作BH⊥x轴于H，连接OP、PH、PA．设P[m，$\frac{1}{4}$m（m-5）]．

∵P（-4，9），A（5，0），C（0，5），
∴S_△PBC=S_△PAB-S_△PCA=（S_△PBH+S_△PHA-S_△ABH）-（S_△PCO+S_△POA-S_△AOC）
=$\frac{1}{2}$×9×（m+4）+$\frac{1}{2}$×9×$\frac{1}{4}$m（m-5）-$\frac{1}{2}$×9×9-[$\frac{1}{2}$×5×m+$\frac{1}{2}$×5×$\frac{1}{4}$m（m-5）-$\frac{1}{2}$×5×5]
=$\frac{1}{2}$m²-m-10（m＞5）．

（3）如图3中设AC交OP于D，AC的中点为K，连接PK．

∵∠DPA=∠DCO=45°，∠PDA=CDO，
∴△PDA∽△CDO，
∴$\frac{PD}{CD}$=$\frac{AD}{OD}$，
∴$\frac{PD}{AD}$=$\frac{CD}{OD}$，∵∠CDP=∠ODP，
∴△CDP∽△ODA，
∴∠CPD=∠OAD=45°，
∴∠CPA=90°，
∵CK=KA，
∴PK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
设P[m，$\frac{1}{4}$m（m-5）]，
∵K（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴（m-$\frac{5}{2}$）²+[$\frac{1}{4}$m（m-5）-$\frac{5}{2}$]²=（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²，
整理得m（m-5）（m²-5m-4）=0，
∴m=0或5或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，
∵m＞5，
∴m=$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
∴P（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，1）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分割法求三角形的面积，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．