Question

5．【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=$\frac{1}{3}$，求sin2α的值．
小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=$\sqrt{10}$x．作CD⊥AB于D，求出CD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$x（用含x的式子表示），可求得sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{3}{5}$．
【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ=$\frac{1}{2}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 【阅读学习】根据三角形的面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，求出CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$x．由AB=$\sqrt{10}$x，得出OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，从而计算得出sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{3}{5}$；
【问题解决】连接NO，并延长交⊙O于Q，连接MQ，MO，作MH⊥NO于H．首先根据圆周角定理得出∠NMQ=90°．利用圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出∠MON=2∠Q=2β．再由tanβ=$\frac{1}{2}$，可设MN=k，则MQ=2k，利用勾股定理求出NQ=$\sqrt{M{N^2}+M{Q^2}}=\sqrt{5}k$，则OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}k$．根据三角形的面积公式可求得MH=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}k$，然后在Rt△MHO中利用正弦函数的定义即可求出sin2β的值．

解答 解：【阅读学习】
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3x•x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$x．
∵AB=$\sqrt{10}$x，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，
∴sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}x}{\frac{\sqrt{10}}{2}x}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$x，$\frac{3}{5}$；

【问题解决】
如图，连接NO，并延长交⊙O于Q，连接MQ，MO，作MH⊥NO于H．
在⊙O中，∠NMQ=90°．
∵∠Q=∠P=β，OM=ON，
∴∠MON=2∠Q=2β．
∵tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴设MN=k，则MQ=2k，
∴NQ=$\sqrt{M{N^2}+M{Q^2}}=\sqrt{5}k$．
∴OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}k$．
∵${S_{△NMQ}}=\frac{1}{2}MN•MQ=\frac{1}{2}NQ•MH$，
∴$k•2k=\sqrt{5}k•MH$．
∴MH=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}k$． 
在Rt△MHO中，sin2β=sin∠MON=$\frac{MH}{OM}=\frac{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}k}}{{\frac{{\sqrt{5}k}}{2}}}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，有一定难度．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．