Question

16．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：EO=DO；
（2）若∠OCD=30°，AB=$\sqrt{3}$，求△ACO的面积．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质和矩形的性质可得AE=CD，∠E=∠D=90°，再根据对顶角相等可得∠EOA=∠DOC，然后利用“角角边”证明△AEO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的特点求出OD、OC，再求出OA=OC，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 （1）证明：由题可得：AE=CD，∠E=∠D=90°，
又∵∠EOA=∠DOC（对顶角相等），
∴△AEO≌△CDO（AAS），
∴EO=DO；

（2）解：∵AB=$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∵∠OCD=30°，
∴OD=1，OC=2，
∵EC=AD，EO=DO，
∴OA=OC=2，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，翻折前后对应边相等，对应角相等，难点在于（2）熟悉含30°角的直角三角形的特点并求出相应的边的长度．