Question

15．某新建小区要在一块形状为等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．若等边三角形区域的边长为30m，则花坛面积最大可达75πm²．（结果保留π）

Answer 1

分析 由题意可知三角形为正三角形，设计方案可根据内切圆性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆使圆形花坛面积最大，然后有圆的性质求出内切圆的半径，从而求出面积．

解答 解：要使花坛面积最大，因三角形为等边三角形，
在△ABC内作一个内切圆，则此圆面积最大，点O为角平分线的交点．
作OD⊥BC于D，如图所示：
则Rt△BOD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=15m，∠OBD=30°，
∴tan30°=$\frac{OD}{BD}$，
∴OD=BD•tan30°=15×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=5$\sqrt{3}$，
∴花坛面积为π•（5$\sqrt{3}$）²=75π（m²）；
故答案为：75π．

点评 本题考查了正三角形的性质、内切圆的性质、三角函数；熟练掌握正三角形的性质，由三角函数求出内切圆半径是解决问题的关键．