Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴上一点，若点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，则满足条件的点B′的坐标为（-1，0）或（9，0），点C的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

Answer 1

分析 首先求出OA、OB、AB的长度；运用角平分线的性质求出OC的长度，分点B′在x轴的正半轴与负半轴两种情况进行分类讨论．

解答 解：过C作CD⊥AB于D，如图1，
对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵当x=0，得y=3，当y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=3-n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5-4=1，
在Rt△BCD中，DC²+BD²=BC²，
∴n²+1²=（3-n）²，解得n=$\frac{4}{3}$，
∴点C的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）．
∵OB′=DB=1，
∴B′（-1，0）；
如图2，当点B关于AC的对称点B′落在x轴的正半轴时，此时AB′=AB=5，
∵A（4，0），
∴OB′=4+5=9，
∴B′（9，0）．
设直线BB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ 9k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ k=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
∴直线BB′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3．
设直线AC的解析式为y=3x+d，
∵A（4，0），
∴d=-12，
∴直线AC的解析式为y=3x-12，
∴C（0，-12）．
故答案为：（-1，0）或（9，0）；（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、翻折变换的性质等知识，在解答此题时要注意进行分类讨论．