Question

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（6，4），AC⊥x轴于点C，BG⊥x轴于点G，分别以AC、BG为边作正方形ACDE和正方形BGMN；
（1）试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式；
（2）求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；
（3）已知点P的坐标是（10，0），试作一个正方形，它以点P为其中一个顶点，且与已有正方形成位似图形（在下图中作出即可）．

Answer 1

考点：一次函数综合题,位似变换

专题：综合题

分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，根据正方形的性质得出E与N坐标，设直线EN解析式为y=px+q（p≠0），将E与N坐标代入求出p与q的值，即可确定出直线NE解析式；
（2）根据直线AB与直线NE都为正比例函数，图象过原点，直线DM，直线CG都与x轴重合，利用位似图形性质判断即可得证；
（3）以P为位似中心，做出正方形ACDE与正方形MNBG的位似图形即可．

解答：解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（3，2），B（6，4）代入得：

3k+b=2 6k+b=4

，
解得：k=

2

3

，b=0，
∴直线AB解析式为y=

2

3

x；
根据题意得：E（5，2），N（10，4），
设直线EN解析式为y=px+q（p≠0），将E与N坐标代入得：

5p+q=2 10p+q=4

，
解得：p=

2

5

，q=0，
∴直线NE解析式为y=

2

5

x；
（2）∵直线AB解析式为y=

2

3

x与直线NE解析式为y=

2

5

x都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合，
∴正方形ACDE与正方形BGMN对应顶点连线交于一点，此点为原点，
则正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；

（3）如图所示，正方形MN′B′G′，正方形A′E′D′C′为所求的正方形．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，位似图形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．