Question

如图，直线OC，BC的函数关系式分别是y₁=x和y₂=-x+6，两直线的交点为C．
（1）点C的坐标是（

 

，

 

），当x

 

时，y₁＞y₂？
（2）△COB是

 

三角形，请证明．
（3）在直线y₁找点D，使△DOB的面积是△COB的一半，求点D的坐标．
（4）作直线a⊥x轴，并交直线y₁于点E，直线y₂于点F，若EF的长度不超过3，求x的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）联立两直线解析式求出x与y的值，即为C坐标，根据C坐标，利用函数图象找出y₁＞y₂时x的范围即可；
（2）△COB为等腰直角三角形，理由为：过C作CM垂直于x轴，根据C坐标确定出CM与OM的长，进而求出MB的长，分别利用勾股定理求出OC与BC的长，再利用勾股定理的逆定理得到三角形OBC为直角三角形，根据OC=BC即可得证；
（3）如图所示，分两种情况考虑，当D₁为OC中点时；当O为D₁D₂中点时，分别根据△DOB的面积是△COB的一半，利用中点坐标公式求出D坐标即可；
（4）如图所示，分两种情况考虑：当直线a在C左侧时；当直线a在C右侧时，表示出EF的长，根据EF的长不超过3列出不等式，求出不等式的解集即可确定出x的范围．

解答：解：（1）联立得：

y=x y=-x+6

，
解得：x=3，y=3，
∴C（3，3），
根据图形得：当x＞3时，y₁＞y₂；
故答案为：3；3；＞3；
（2）△COB为等腰直角三角形，理由为：
过C作CM⊥x轴，由C（3，3），得到CM=OM=3，
根据勾股定理得：OC=

32+32

=3

2

，
∵OB=6，OM=3，
∴BM=OB-OM=6-3=3，即CM=BM=3，
根据勾股定理得：BC=

32+32

=3

2

，
在△BCO中，OC=BC=3

2

，OB=6，
∵OC²+BC²=18+18=36，OB²=36，
∴OC²+BC²=OB²，
则△OBC为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（3）如图所示，分两种情况考虑：
当D₁为OC中点时，△D₁OB的面积是△COB的一半，此时D₁（

3

2

，

3

2

）；
当O为D₁D₂中点时，△DOB的面积是△COB的一半，此时D₂（-

3

2

，-

3

2

），
综上，D的坐标为（

3

2

，

3

2

）或（-

3

2

，-

3

2

）；
（4）分两种情况考虑：
当直线a在C左侧时，此时EF=-x+6-x≤3，
解得：x≥

3

2

；
当直线a在C右侧时，此时EF=x-（-x+6）≤3，
解得：x≤

9

2

，
则x的范围为

3

2

≤x≤

9

2

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两条直线的交点坐标，坐标与图形性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，线段中点坐标公式，利用了数形结合及分类讨论的思想，弄清题意是解本题的关键．