Question

3．如图，P为正方形ABCD的AD边上一点，PE⊥AD交BD于点E点，将△PCD绕C点逆时针方向旋转90°到△FCB的位置，连接PF交BD于Q点．
①求证：BQ=EQ；
②探究线段PQ与线段CQ的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证明△PDE为等腰直角三角形，从而得到PD=PE，然后由PE=BF且PE∥BF，可得到四边形BFEP为平行四边形，最后依据平行四边形对角线的性质进行证明即可；
（2）由旋转的性质可得到△PCF为等腰直角三角形，依据直角三角形斜边上的中线的性质可得到PQ与CQ的数量关系，依据等腰三角形三线合一的性质可得到QC与PQ的位置关系．

解答 解：（1）∵ABCD为正方形，
∴∠PDE=45°．
∵PE⊥AD，
∴△PDE为等腰直角三角形．
∴PD=PE．
由旋转的性质可知PD=BF．
∴PE=BF．
∵BF⊥AD，PE⊥AD，
∴BF∥PE．
∴四边形BFPE为平行四边形．
∴BQ=EQ．
（2）QC⊥PQ且QC=PQ．
理由：∵四边形BFPE为平行四边形．
∴QF=QP．
由旋转的性质可知PC=CF，∠DCP=∠BCF．
∴∠DCB=∠PCF=90°．
∴△PCF为等腰直角三角形．
又∵PQ=FQ，
∴QC⊥PQ且QC=PQ．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、平行四边形的性质和判定、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．