Question

5．已知：如图，M为△ABC的边BC的中点，AT平分∠BAC，交BC于T，ME∥AT交CA的延长线于E．求证：BD=CE．

Answer 1

分析 根据平行线的性质，可得∠6与∠5，∠B与∠CMG，∠4与∠6的关系，根据等腰三角形的判定，可得CE与CG的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BD与CG的关系，再根据等量代换，可得答案．

解答 证明：如图，过点C作AB的平行线交EM的延长线于G，则∠6=∠5，∠B=∠CMG，∠4=∠6．

∵AT‖EM，
∴∠1=∠3，∠2=∠4；
又∵AT平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠6，
∴CE=CG．
在△BDM和△CGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠6}\\{∠B=∠MCG}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△GCM （AAS），
∴BD=CG．
∴BD=CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，等量代换．