Question

4．如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S_△ACE=$\frac{6}{7}$，S_△BDE=$\frac{3}{14}$，则AC=2．

Answer 1

分析 设BC=4x，根据面积公式计算，得出BC=4BD，过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G；证明CFEG为正方形，然后在直角三角形ACD中，利用三角形相似，求出正方形的边长（用x表示），再利用已知的面积建立等式，解出x，最后求出AC=BC=4x即可．

解答 解：过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G，
设BC=4x，则AC=4x，
∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，又S_△ACE=$\frac{6}{7}$，S_△BDE=$\frac{3}{14}$，
∴BD=$\frac{1}{4}$AC=x，
∴CD=3x，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF=FC，
∵EF∥CD，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{EF}{3x}$=$\frac{4x-EF}{4x}$，
解得，EF=$\frac{12}{7}$x，
则$\frac{1}{2}$×4x×$\frac{12}{7}$x=$\frac{6}{7}$，
解得，x=$\frac{1}{2}$，
则AC=4x=2，
故答案为：2．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．