Question

19．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．

Answer 1

分析 当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．

解答 解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．
理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠DAC=∠DCA，
∵A′C′∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，
∴∠DA′E=∠DEA′，
∴DA′=DE，
∴△A′DE是等腰三角形．
∵四边形DEFD′是菱形，
∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，
∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，
在△A′DE和△EFC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EA′D=∠C′EF}\\{A′D=EF}\\{∠A′DE=∠EFC′}\end{array}\right.$，
∴△A′DE≌△EFC′．

点评 本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．