Question

10．已知点A（1，-3），B（4，-1），P（0，a），N（0，a-2），当四边形PABN的周长最小时，则a=-1．

Answer 1

分析 如图，作点B关于y轴的对称点B′，则B′的坐标为（-4，-1），把B′向下平移2个单位得到点A'（-4，3），连接AA′，与y轴交于点N，把N向上平移2个单位得到P，于是得到PN=A′B′=2，推出四边形A′B′PN为平行四边形，根据平行四边形的性质得到PB′=A′N，PB=PB′，得到PB=NA′，于是推出PB+AN=AA′，此时PB+AN最小，而PN与AB的长一定，此时四边形ABDC的周长最短．由于A（1，-3），A′（-4，-3），得到AA′∥x轴，求得N（0，-3），即可得到结果．

解答 解：如图，作点B关于y轴的对称点B′，则B′的坐标为（-4，-1），把B′向下平移2个单位得到点A'（-4，3），连接AA′，与y轴交于点N，把N向上平移2个单位得到P，
∴PN=A′B′=2，
∴A′B′∥PN，
∴四边形A′B′PN为平行四边形，
∴PB′=A′N，PB=PB′，
∴PB=NA′，
∴PB+AN=AA′，此时PB+AN最小，
而PN与AB的长一定，
∴此时四边形ABDC的周长最短．
∵A（1，-3），A′（-4，-3），∴AA′∥x轴，
∴N（0，-3），
∴P（0，-1）．
∴a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．