Question

【题目】如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.

(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；

(2)若点D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；

（2）连接OD，如图，由D是的中点得，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．

（1）∵，

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，

又∠ACB＝60°，

∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；

（2）如图，连接OD，

∵D是的中点，

∴ .

∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝∠ACB＝60°，

又OD＝OA，OD＝OB，

∴△OAD和△OBD都是等边三角形，

∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD，

∴OA＝AD＝DB＝BO，

∴四边形OADB是菱形．